Hola
Bueno, es normal tu confusión actual.
El html es de cliente, eso es totalmente cierto y los ssi, como dice su nombre, son de servidor, pero no dependen de un lenguaje y un intérprete como los que mencioné antes, dependen solo del servidor, apache, en este caso.
Puedes leer un poco sobre ello
aquí.
Y si quieres, en la red puedes buscar mucha información al respecto.
Si tu página no está en un servidor apache, necesitaras buscar el equivalente, por ejemplo el IIS de Microsoft, tiene las Front Page Extensions, y una de ellas son los llamados «webots», estos te permiten hacer lo mismo.
Si usaws otros como jigsaw, deberás buscar su documentación.
Felicidad