Cita: hasta ahí me funciona, el caso es que una vez que cierras el navegador se supone que debe acabar la sesión no?
No, ... aquí no se "supone" nada .. Es la configuración de PHP que en este mensaje se ha comentado ampliamente lo que influye que en tu caso particular se comporte así la expiración de una sesión o no .. Debes revisarlo, sobre todo debes saber tu como propagas el SID en tu aplicación y configuración de PHP (por si tomas algo "por defecto") y de ahí ver por ejemplo si propagas el SID en cookies si tus navegadores las aceptan .. (lee todos los mensajes de este tema .. se ha tratado aquí todo eso y no está de más leer la documentación oficial de PHP al respecto:
www.php.net/session)
Un saludo,