Antes de nada .. deberías ver los requisitos de tu "webmail" y conocer en que consiste todo este protocolo(s) de mail.
Un "webmail" no es más que la "cara" visible de un servidor POP/IMAP (para recibir tus mensajes) y SMTP (para enviar tus mensajes).
Por ende, necesitas disponer de un servidor IMAP o POP y uno SMPT en tu "servidor" (si usas un servicio de hosting que te proporciona ya cuentas de e-mail .. es de suponer que todo eso ya lo tienes).
Cara a la programación PHP .. necesitaras de soporte IMAP en tu servidor como extensión instalada en PHP (hazte un phpinfo() para verificarlo).
Para enviar el e-mail en si, por "SMTP" .. tienes la función mail() de PHP .. pero al final vas a requerir otras cosas como enviar archivos adjuntos, autentificación para enviar .. etc. Para solventar estas falencias de mail() de PHP original, puedes usar la classe: PHP Mailer (
http://phpmailer.sourceforge.net)
Por lo demás .. mi recomendación no sería "re-inventar" la rueda .. fijate o usa simplemente algún webmail ya creado.
Un saludo,