¿Es correcto realizar conexiones constantes con la BBDD?

[uamistad]

Si ya sabes que tu script usará base de datos, lo mejor es conectarte al inicio de tu script y luego todas las funciones que se utilicen en el script podrán hacer uso de esa conexión.

Con una vez es suficiente, ¿para qué pedirle a la base de datos dos identificadores idénticos?

Y contestando a la otra pregunta, my friend, si se haces una segunda llamada a mysql_connect() con los mismos argumentos, no se abrirá nuevo enlace, en lugar de eso, se regresa el identificador de enlace ya abierto.