mysql
i es una extensiòn de PHP:
www.php.net/mysqli
La cual debes tener instalada y es justamente el mensaje de error que te dá o te avisa de que no la tienes instalada.
Las extensiones en PHP se instalan (bajo windows) tan sòlo descomentando la línea de php.ini que hace referencia a:
extension = php_mysqli.dll
(le quitas el ; de delante y te aseguras de que extension_dir = apunte al directorio donde PHP tiene sus php_xxx.dll. Reinicias Tú servidor y compruebas que todo quedó bien haciendo un phpinfo())
OJO que mysqli está disponible en PHP 5.x en adelante. No es necesario que uses ese "cliente" de Mysql (que es ùtil para usarlo en conjunto con Mysql 5.x en adelante y aprovechar sus funcionalidades añadidas) .. pero si es recomendable ir migrando aplicaciones a este nuevo "cliente" de manejo de Mysql con PHP. Eso sí .. teniendo en cuenta las versiones de PHP y Mysql en la que funciona (por si luego todo tu trabajo tiene que quedar en un servicio de hosting con tal o cual versiòn de PHP/Mysql).
Un saludo,