El problema es ese, el mundo "stateless" de la web, donde queda claramente evidenciado al intentar implementar el patrón "singleton".
Cuando tu estás, por ejemplo, en una aplicación desktop hecha en Java, tu código está siempre corriendo, de forma permanente. Si tu creas una conexión con la base de datos, siempre estará ahí mientras viva la aplicación (o te desconecte el servidor de base de datos, etc), y cada vez que uses el "singleton", este funcionará para todos los casos que la uses.
En situaciones "típicas" de la web (sin las conexiones persistentes), luego de terminar la ejecución de un página, pasamos al estado "desconectado" y se perdemos todos los objetos.
En este contexto, solo tendría sentido el "singleton" si tu página debe hacer llamadas a varios objetos que tienen acceso a la base de datos, pero tu quieres que estos no creen una conexión para cada uno.
Pero luego de concluida la página (terminamos de ejecutar la última línea de nuestro php), terminó la utilidad del "singleton", y el próximo contexto será una nueva ejecución de la página, esta misma u otra.
Estas son mis conclusiones aplicadas al mundo PHP desde el mundo Java; si no les gustan, tengo otras
