Solo para que sepas, no se pierden los datos si al principio de tu script usas un var_dump( $_POST );, veras que los datos estan ahi, si estan sido enviados a tu script de regreso el problema es que tu variable de "submit" va vacia, y eso es lo que provoca que no se realice ninguna accion.
Lo que yo te recomiendo es hacer algo asi:
Código PHP:
if( isset( $_POST ) && ( count( $_POST ) > 0 ) ) {
switch( $_POST['enviar'] ) {
case 'Agregar':
default:
// Hacer las acciones de agregar (y la accion a realizar por defecto)
break;
case 'Borrar':
// Hacer las acciones de borrar
break;
}
}