Si dices
" los mails que salen ya los guardo en base de datos" supongo que será por qué para esa cuenta de e-mail que indicas como remitente sólo los envias con PHP (función mail() o equivalente).
Ahora lo que te faltaría es acceder a tu cuenta de correo por IMAP (ya que dices que la puedes acceder por Horte y este es un cliente "web" para IMAP .. ).
Para eso pudes usar las funciones de:
IMAP
www.php.net/imap
Un saludo,