1) $_SESSION es más nuevo, 
session_register está en desuso
2) El nombre de la sesión hace referencia al session id utilizado en las cookies y en las URLs. En general, es el nombre de la cookie que va a mandar PHP para identificafr al usuario
3) Es necesario llamar a 
session_name() en cada petición (y antes de llamar a session_start()  o a session_register()).
4) session_register está en desuso, en su lugar es recomendable usar $_SESSION
5) $_SESSION['elindicequequieras'] sirve para guardar/recuperar datos de la session
6) los datos de las sessiones que no estén activas van a desaparecer sólos  
Como me imagino que todavía no quedó claro, te doy un ejemplo  
 Código PHP:
    <?php
session_name('elnombrequequieras'); //acá le ponés el nombre que quieras a ña session
session_start(); //empezamos
if (isset($_SESSION['a'])) //si existe la variable
{
    echo $_SESSION['a']; //mostramos el valor
    unset($_SESSION['a']); // y la eliminamos
} else { // si no existe
    $_SESSION['a'] = 1; //le guardamos el valor 1
}
?>    
  Entonces lo que pasa con esta página es que va a ir intercalando entre 1 y vacío los valores, cuando actualices