Si está programando una aplicación para web que usará una BBD en web, tendrás que adaptarte a los DBMS que te provean en esos hosting (ellos no instalarán algo simplemente porque un usuario quiere algo distinto). De lo contrario deberás tener un server dedicado y poner allí lo que deseas usar.
deberías haber usado primero el Google y buscar un hosting que de soporte a SQLite.
Habrías encontrado algunas cosas como:
http://www.mxhub.com/sqlite-hosting.php http://www.a2hosting.com/database/sqlite-hosting