Hola,
Mira como se ve tu codigo coloreado:
Código PHP:
$sql = 'UPDATE familia SET fam_name = " .$new_fam_name. " WHERE id_fam = " . $id_fam . " ';
Tu problema son las comillas. Fijate habres la cadena con ', lo que significa que debes cerrarla con lo mismo '. Pero tu intentas cerrarlo con " para las concatenaciones. En fin, un lio. Prueba:
Código PHP:
$sql = "UPDATE familia SET fam_name = '$new_fam_name' WHERE id_fam = $id_fam ";
Con las " puedes poner las variables sin concatenar. Tambien puedes poner la ' para el campo de texto. He supuesto que id_fam es numerico, por eso no le pongo '.
Saludos.
PD: Revisa
http://www.php.net/manual/en/language.types.string.php para aclararte con las comillas.