Error relacionado con la red o específico de la instancia

[Libras]

a ver dejame entender, tienes una aplicacion en tu trabajo, que se conecta a una base de datos de sql server y para administrar la base usaste una version prueba??? y luego quisiste engañar al sistema realizando una reinstalacion??? primero porque no instalaste una version completa si lo hibas a utilizar para el trabajo? ahora el error que tienes parecer ser que como quisiste reinstalar instalaste una instancia con nombre, para saber cual es el nombre de la instancia abre el sql server configuration y ahi vienen los servicios de sql, cuales estan activos y cual es el nombre de la instancia, y asi puedes probar a conectarte de la siguiente forma:

server\instance_name

de lo del usuario, quizas te este pidiendo una contraseña porque asi lo reinstalaste y no pusiste el usuario de windows que estaba instalando como default....

saludos!