Hola eguitox, espero poder ayudarte. El problema de tua menu es el position,para que no se muevan el resto de elementos debes decirle al div en cuestión (en este caso el menu desplegable) que su posición sea "absolute" para que no hago caso al resto de elementos y puedas posicionarlo como tu desees. Luego solo sería cuestion de moverlo a tu gusto.
En el caso de border-radius, IE explorer no se lleva muy bien con el y no lo soporta en ninguna de sus versiones. Para ello tendrías que meterte con alguna libreria tipo Modernizr, aqui te dejo el link por si te interesa: http://modernizr.com/.
Te pongo tamién una página por si no la conoces que se llama "Caniuse", ahí puedes mirar las distintas características de css y sus correspondientes compatibilidades con los diferentes navegadores: http://caniuse.com/
Un saludo y espero haberte sido de ayuda
Edito: Me he fijado que en la etiqueta SelectedCiudadesIE(me imagino que sera para las de internet explorer), si tienes puesto position:absolute pero en la que utilizan los demás navegadores no, por eso en firefox o chrome te desplaza el menu.