Debe ser de perogrullo...

[JustinKO]

Cuando te creas un theme child, en esa carpeta lo único imprescindible que necesita es el style.css, y éste lo único que necesita son los comentarios del encabezado.
Incluye en esa hoja tus estilos personales.

Como te decía en un post anterior, existe documentación de sobra sobre esto.
Se te puede ayudar a cosas concretas o darte guías para que por tu cuenta lo aprendas. Léete bien la documentación sobre este tema y sabrás a qué me refería. NO se te puede explicar el funcionamiento de todo en un post de blog.

Respecto a tu segunda pregunta: duplica el header.php que tienes en el template "padre" y lo guardas en la carpeta de tu them hijo, y ahí haz los cambios. Wordpress ignorará el header original y usará el tuyo.
Yo que tú, borraría todo esto:
style="height:<?php echo $line_height?>px;"
de la línea de código que mostraste, y pegaría el CSS que te he enviado en tu style.css y a partir da ahí modifica hasta que des con lo que necesitas.

Un saludo.