aguml no te compliques. Si sacas la ecuación del movimiento de ambos cuerpos e igualas podrás encontrar 0, 1 o dos soluciones:
Si asumimos aceleración constante, la posición de un cuerpo viene determinada por la ecuación : p = x0+v0*t+a0*t^2. Si tienes dos objetos diferentes, entonces:
x0+v0*t+a0*t^2=x1+v1*t+a1*t^2, luego 0=(x0-x1)+(v0-v1)t+(a0-a1)t^2 = c+bt+at^2. De esta última equación se deducen dos raices:
t0 = (-b + (b^2-4*ac)^0.5) / 2*a y t1= (-b - (b^2-4*ac)^0.5) / 2*a
Por supuesto puede que las soluciones tengan componente imaginaria. Como nos estamos moviendo en el plano real se asume que no son solución a nuestro problema.
Estas ecuaciones nos plantean los siguientes escenarios:
- No se cruzan: Las dos raices son imaginarias o t1 y t2 son negativos
- Un único cruce: Una raiz es positiva y la otra negativa
- Dos cruces: t0 y t1 son positivos
Queda claro que todo t<0 no es solución válida ya que no creo que tus objetos vayan a viajar en el tiempo.
El caso es que una vez tienes las posibles soluciones válidas la cosa es comprobar si la velocidad ha pasado a ser negativa antes de llegar a la solución... eso lo puedes verificar comprobando el punto en el que se encuentra el objeto en el tiempo t. Si la velocidad es positiva y xf<xi entonces es que los objetos han dado media vuelta y se han encontrado cuando iban en dirección contraria.
Algunos ejemplos:
EJ 1
x0 = 5, v0=2, a0=2
x1 = 10, v1=3, a1=1
a=1, b=-1, c=-5
Raices:
t0 = 2.79
t1 = -1.79 -> no válida
Solución: Se cruzan en t=2.79, es decir, en x=(5+2*2.79+2*2.79^2)=26,16
EJ 2
x0 = 5, v0=2, a0=1
x1 = 10, v1=3, a1=1
a=-1, b=-1, c=-5
Raices:
t0 = imaginaria
t1 = imaginaria
Solución: No se cruzan
EJ 3
x0 = 5, v0=20, a0=-1
x1 = 10, v1=30, a1=-2
a=1, b=-10, c=-5
Raices:
t0 = 10.47
t1 = -0.47
Solución: Se cruzan en t=10.47, es decir, en x=104.77
EJ 4
x0 = 5, v0=5, a0=-1
x1 = 10, v1=30, a1=-2
a=1, b=-25, c=-5
Raices:
t0 = 25.19
t1 = -0.19
Solución: Se cruzan en t=25.19, es decir, en x=-503.96 -> Se han parado y han empezado a ir hacia atrás, luego no se cruzan antes de pararse.
Si ahora presupones que la aceleración no es constante sino que varía con el tiempo en base a una función dada la solución se complica ligeramente porque ahora te tocaría ingegrar la aceleración... si resulta que la función es continua los cálculos se simplifican.... y lo mismo es aplicable para la velocidad.
Como ves, no es tan complicado encontrar la solución al problema.
Un saludo