Ya he podido solucionarlo. Ha sido un despiste. Los manuales hay que leerlos al dedillo jejeje.
Dejo por aquí los errores que he cometido por si alguien más se encuentra aprendiendo lo mismo que prevea posibles errores.
1.- El tipo de columnas: timestamp() no se puede usar para almacenar una marca de tiempo. Para ello debemos poner dateTime().
2.- Mucho cuidado con increments(). Al declarar ese tipo, automáticamente declaramos tipo auto-incrementable + llave primaria.
3.- Cuidado con: $table->string('email')->unique(); Os dará error si no definís la longitud.
Código PHP:
public function up()
{
Schema::create('user', function (Blueprint $table) {
// Auto-incrementing UNSIGNED INTEGER (primary key) equivalent column.
$table->increments('id_user')->unique();
$table->enum('level', ['E', 'A'])
->default('E');
$table->string('email', 90)
->unique();
$table->string('password', 90);
$table->char('user_name', 100)
->unique();
$table->char('user_address', 100)
->unique();
$table->dateTime('added_on');
$table->timestamps();
$table->rememberToken();
});
}