embeber cliente chat, en diferentes sitio

[ArturoGallegos]

En efecto, has lo ultimo que mencionaste pasale a tu cliente algo como

Código Javascript:

<script>
      (function load(){
        var scriptTag = document.createElement('script');
          scriptTag.src = 'https://my-custom-chat.js';
 
          scriptTag.onload = () => console.log('ha cargado');
          scriptTag.onreadystatechange = () => console.log('ha cargado');
 
          var body = document.querySelector('body');
          body.appendChild(scriptTag);
      }());
    </script>
 

Asegúrate que tu script tenga los cors adecuados, para que pueda ser invocado desde los sitios de tu cliente, preferiblemente no uses cors *

y pues tu script tiene que crear toda la estructura HTML y CSS, posiblemente sea buena idea usar VueJS o ReactJS