Hola Mastropiero,
Transferir to servicio de hospedaje de una empresa a otra es facil sobre todo en lo que al dominio se refiere.. Todo lo que tienes que hacer es entrar a el "Account Manager" de NetworkSolutions.com donde tienes registrado tu dominio y asegurate de cambiar los servidores DNS (Domain Name Servers) hacia los de la nueva empresa de hospedaje que decidas contratar. Es cuestion solo de segundo para hacer el cambio, ahora para que el cambio haga efecto, puede tomar de 24 a 72 horas. Asegurate de hacer un backup o copia de seguridad de tus archivos importantes sobre todo bases de datos que puedas estar utilizando y transfierelas al nuevo servidor.
En ningun caso pierdes propiedad del dominio por transferirlo a otro servidor. La unica forma de perder tu dominio es si no lo renuevas despues del periodo por el cual lo comprastes
Cualquier otra duda solo dejame saber.!
Carlos