Si usas un campo para esa fecha tipo DATETIME puedes usar simplemente la función NOW() que devuelve la fecha/hora actual. Si fuera un DATE puedes usar CURDATE().
$sql="UPDATE usuario SET fecha=NOW() WHERE nombre='annt40'";
Revisa la documentación oficial de Mysql y fijate la de cantidad de funciones que hay para gestionar fechas directamente sobre SQL.
www.mysql.com
Un saludo,