Si usas link de conexión .. tienes que usarlo en todas tus consultas .. Pero puedes omitirlo si sólo realizas una conexión simultánea por script a una base de datos:
Código PHP:
<?
mysql_connect("localhost", "root",'') or die (mysql_error());
mysql_select_db("diicc") or die(mysql_error());
$sql = "INSERT INTO miembros (rut, name) VALUES ('".$rut."','".$name."')";
$result = mysql_query($sql) or die (mysql_error());
echo "¡Gracias! Hemos recibido sus datos.\n";
?>
Como veras . .uso mysql_error() para detectar problemas de conexión (mal nombre base de datos .. o de datos de conexión .. etc) o de sintax SQL (también concateno las variables PHP con la sentencia SQL para mayor claridad si ves el código "coloreado" en tu editor de código preferido).
Un saludo,