En principio .. el problema de las comillas dobles con comillas simples deberías (si quieres usar comillas dobles entre un "entrecomillado" con comillas dobles) el \ delante de la comilla doble para "escaparla" tipo:
Código PHP:
$sql="select * from \"SubProblems\" where id_problem=\"Problems\".id and \"Problems\".id=(select id from \"Problems\" where name='Red');";
Un saludo,