Hola,
Mas que un problema de FPDF, es un problema de cache. Si miras en
www.php.net/session_cache_limiter veras que al pasarle como parametro private le estas diciendo al navegador que guarde el fichero en su cache. En ese caso, cada vez que pidas al navegador esa URL (ese fichero), primero lo buscara en su cache, y si esta (y no ha caducado en la cache del navegador), muestra esa version cacheada.
Prueba a pasarle nocache en lugar de private.
Saludos.
PD: Esto tambien se puede aplicar a las descargas de ficheros.
PD2: En caso de no usar sesiones, se puede usar header() (
www.php.net/header) para mandar las cabeceras de control de cache adecuadas.