En primer lugar, te falta cerrar las etiquetas de los input.
En segundo lugar no estas recibiendo los datos en la segunda pagina, las variables que se mandan por formualrio se reciben con $_POST.
Aqui van unas modificaciones a tu codigo.
Código:
<html>
<head>
<title>HTML Form</title>
</head>
<body>
<FORM action="HandleForm.php" method="post">
First Name <Input Type=TEXT NAME="FirstName" Size=20><BR>
Last Name <Input Type=TEXT NAME="LastName" Size=40><BR>
E-mail Address <Input Type=TEXT NAME="Email" Size=60><BR>
Comments <TEXTAREA NAME="Comments" ROWS=5 COLS=40></TEXTAREA><br>
<INPUT TYPE="SUBMIT" NAME="SUBMIT" VALUE=Submit!">
</FORM>
</body>
</html>
//segunda pagina
<html>
<head>
<title>Inserting Data into a Database</title>
<body>
</head>
<?php
/* Esta pagina recibe y manipula los datos generados por "form.html". */
// Corta los datos entrantes
$FirstName=$_POST["FirstName"];
$LastName=$_POST["LastName"];
$Email = $_POST["Email"];
$Comments = $_POST["Comments"];
// Establece variables para el acceso a la base de datos:
$Host = "localhost";
$User = "root";
$Password = "";
$DBName = "pruebas";
$TableName = "Feedback";
$Link = mysql_connect ($Host, $User, $Password);
$Query = "INSERT into $TableName values ('0', '$FirstName', '$LastName', '$Email', '$Comments')";
print ("The query is:<BR>$Query<P>\n");
if (mysql_create_db ($DBName, $Link)) {
print ("The database, $DBNBame, was successfully created!<BR>\n");
} else {
print ("The database, $BDName, could not be created!<BR>\n");
}
mysql_close ($Link);
?>
</body>
</html>
La funcion TRIM sirve para sacar los espacios vacios (o los caracteres que quieras si le pones mas argumentos) al principio y final de las cadenas, no es extremadamente necesaria en este caso.
No se pq ponia esas variables como Array[], la gracia de PHP es que no tienes que definir tipos en las variables, con puro poner el nombre basta.
En todo caso, tu segunda pagina solo crea la base de datos, aun no le insertas los datos que pasas por el formulario, eso se hace con la funcion mysql_query($Query, $Link)
Espero que te haya ayudado.
Pregunta cualquier duda.