Hola bernaap aca te dejo como quedaria el codigo te faltó mysql_query como dijeron nuestros compañeros.
Pues luego de la actualizacion en la db, le consultamos el campo con el id y obtenemos el valor ya actualizado y lo imprimimos. Espero que te ayude saludos!!  
 Código PHP:
    require('conexion.php'); 
 
 
$reuniones = $extraido['reuniones'] + "1";  //AQUI SUMAS EL VALOR
 //Tenes que limpiar minimamente la variable post por seguridad
    $id=htmlentities($_POST['busca']); 
                                 
    $query="UPDATE usuarios SET reuniones='$reuniones' WHERE id='$id'";
$resultado = mysql_query($query, $variable_de_coneccion_para_que_conecte_tu_archivo_conexion.php) or die("no guarda"); //AQUI ACTUALIZAS EL CAMPO
 
 
//Consultamos nuevamente a la db y extraemos el campo y lo imprimimos.
$sSQL = "SELECT reuniones FROM usuarios WHERE id='$id'";
$result = mysql_query($sSQL, $variable_de_coneccion_de_tu_conexion.php) or die("no guarda");
 
while($row = mysql_fetch_array($result)) { //Exploracion comun de registros
//Aca ves como quedo.
echo $row['reuniones'];
}