Solo agrega una variable mas a la función Javascript
   
Código Javascript
:
Ver original<script type="text/javascript">
    function HoraActual(hora, minuto, segundo, horario){
        segundo = segundo + 1;
        if(segundo == 60) {
            minuto = minuto + 1;
            segundo = 0;
            if(minuto == 60) {
                minuto = 0;
                hora = hora + 1;
                if(hora == 24) {
                    hora = 0;
                }
            }
        }
        if(hora < 10) hora = '0' + hora;
        if(minuto < 10) minuto = '0' + minuto;
        if(segundo < 10) segundo = '0' + segundo;
        if (hora == 0) {
                if (horario == 'pm') {
                        horario = 'am';
                }
        }else if (hora == 12) {
                if (horario == 'am') {
                        horario = 'pm';
                }
        }
        HoraCompleta= hora + ":" + minuto + ":" + segundo;
        document.getElementById('contenedor_reloj').innerHTML = HoraCompleta + ' ' + horario;
        setTimeout("HoraActual("+hora+", "+minuto+", "+segundo+","+horario+")", 1000);
    } 
</script>
  
Y en el HTML   
Código HTML:
Ver original<body onload="HoraActual(<?php echo date("g",time() + 25700).", ".date("i").", ".date("s"); ?>)","
<?php date("a",(time() + 25700)); ?>">
 
  
Solo una cosa, la función Javascript que encontraste es para una configuración de 24 horas, la propiedad "g" de "date" es en formato de 12 horas, así cuando llegue a las 12:59 y cambie de segundo marcará las 13:00 y no la 01:00