Como está entre comillas simples no lo interpreta como variable sino como cadena. En este caso lo más sencillo es concatenar.
Código PHP:
$cuerpo = '
<html>
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=iso-8859-1">
<title>Links</title>
</head>
<body>
DEAR '.$link_email.'
</body>
</html>
';