En PHP ya tienes ese registro de errores (de los que origina PHP de por sí) en sus logs (si usas PHP bajo Apache .. en los de APache los veras).
No sé si es que no tienes acceso a estos "logs" (como suele pasar en un servicio de hosting si lo usas) .. o quieres personalizar tus mensajes de error o similar.
En cualquier caso, .. en PHP puedes "re-escribir" las funciones para tratamiento de errores de PHP nativo por las tuyas y así tener el control tu mismo (como para hacer el log personalizado y donde gustes tu aplicación).
http://www.php.net/manual/es/ref.errorfunc.php
Por otro lado .. tendrás los "errores" própios de la lógica de tu aplicación .. NO sé cuales andas buscando para hacerle log's (pero esto sería la propuesta de gonzalezmfrank más o menos .. a falta de crear el script que genere el archivo en sí).
Un saludo,