Usando la función fwrite()
www.php.net/fwrite
Y dando el formato a tu archivo. Lo ideal sería que gestionases Base de datos (Mysql?) .. sobre todo para posibles analisis de esos datos recibidos y distribuirlos mejor para darles curso.
Por lo demás veo muy bien la idea de tu cliente en que no se generen e-mails .. realmente para esas cosas es muchooooo! más claro ir a ver los mensajes que realmente sirven que ir "navegando" entre mensajes en el e-mail tipo SPAM, Virus y demás .. (aunque .. claro todo el mundo se puede crear reglas de correo y demás ..).
(revisa las funciones de trabajo con archivos de PHP)
Un saludo,