Usas algún GUI para Mysql?
Lo que puedes hacer es usar phpMyadmin, bajarte en formato SQL tu estructura de datos y datos en sí para luego en el otro servidor Mysql con otro GUI (phpMyadmin o el que uses), ejecutar ese archivo SQL que generastes del otro servidor.
El único problema podría ser por el tamaño de tu BBDD si usas phpMyadmin.
Tienes acceso permitido remoto a tus Base de datos de ambos servidores? .. Te hago el comentario por qué hay muchos GUI para Mysql que permiten conectarte a dos Servidores simultánemaente para hacer sincronizaciones y actualizaciones entra dos servidores.
Creo que
Mysql Front End lo hace (posibilidad de conectar entre dos servidores Msyql para hacer transferencias):
http://www.mysqlfront.de/
También lo hace
Navicat:
www.navicat.com
(ambos para windows .. no conozco equivalentes en Linux u otros S.O.)
Un saludo,