Bueno, primero tendrías que crear el archivo (yo para eso utilizo la función 
touch() ). Y después sólo tendrías que agregar el contenido del textbox a ese archivo con la función 
file_put_contents(). Sería algo así: 
guadar.php:  
 Código PHP:
    <?
$contenido = $_POST['texto']; //Suponiendo que tu textbox se llame "texto"
$nombre = $_POST['nombre'];
file_put_contents($nombre, $contenido);
....
?>    
  Saludos.