Es lo mismo usar un REPLACE para mostrar el resultado en una consulta, que hacerlo en un UPDATE...
Si ya viste el ejemplo, es simplemente aplicarlo a una actualización.
Código PHP:
UPDATE tabla SET telefono = REPLACE(telefono," ","")
En este caso, va a buscar en el campo teléfono, los blancos y los va a quitar.
Una recomendación más. Procura realizar un backup de tu BD actual y luego aplica el UPDATE.