De donde llega $nom ? .. OJO si es externa al script (que llega de un formulario o URL) .. en ese caso usar los arrays superglobales asociados: $_GET o $_POST según corresponda.
Por lo demás .. usa comillas en el dato en el SQL. Tampoco está de más usar mysql_real_escape_string() al dato que pasamos para evitar problemas de comillas, ñ y otros caracteres que podrían dar algún error.
La función mysql_error() también nos permitirá ver mensajes de error o conexión. (Asumimos que te conectas en ese script y generas tu $conexion ..).
Código PHP:
$sql="UPDATE personas SET nombres='".mysql_real_escape_string($nom)."'";
//Luego hago esto:
mysql_query($sql,$conexion) or die (mysql_error());
Un saludo,