Cita: ahora creo que me exprese mejor
no se si es mejor hacer que cuando eliga una refresque la pantalla enviando una variable de la id de institucion.
Así es como lo vas a tener que hacer si usas PHP sólo.
Tu envias tu formulario .. ya sea por un "submit" automático lanzado por un evento "onChange()" en tu <select> (que por cierto insisto que le tienes que dar un name="....") o por un botón que pongas para tar fin.
Otras opciones que "aparentemente" no recargan la página son más complejas (pero más "vistosas"), usan técnicas de "Ajax" (tenemos un foro para tal fin por si quieres consultar).
Un saludo,