Eso parece ser, en esta linea:
Código PHP:
$sql ="INSERT INTO Personal VALUES ('".$_POST['Nom'] . "','" .$_POST['Cognoms'] ."','" .$_POST['DNI'] . "','" .$_POST['Estat'] . "','" .$_POST['Noperari'] . "','" .$_POST['Localitat'] . "','" .$_POST['Adreça'] . "','" .$_POST['Província'] . "','" .$_POST['CP'] . "','" .$_POST['Email'] . "','" .$_POST['Telèfon'] . "','" .$_POST['Nacionalitat'] . "','" .$_POST['DNaixement'] . "','" .$_POST['NFills'] . "','" .$_POST['ECivil'] . "','" .$_POST['PResidència'] . "','" .$_POST['NSS'] . "','" .$_POST['Empresa'] . "','" .$_POST['Departament'] . "','" .$_POST['Area'] . "','" .$_POST['LTreball'] . "');";
$recordSet = $conn->Execute($sql);
deberías asegurarte que los valores que pasas a campos de texto vayan entre comillas simples ('), los valores de fecha entre simbolos # y en formato mm-dd-yyyy, los numeros sin comillas y sin #.