Ok, intentemos saciar tu curiosidad
Te puedes conectar a ADSL tanto por router como por modem (incluso podrías por switch), el por qué a veces dan modem y a veces router... no tengo ni idea.
Y en principio puedes cambiar el modem o router que te da el proveedor por otro.
El router sí puede influir en las webs, puede tener el CPU saturado, estar sobrecalentado, tener poca memoria o pasarle otras cosas que afecten a las conexiones, pero igual que afecta a las webs puede afectar al resto.