Parece que no leistes mi comentario al respecto:
Cita: echo "<td> <input name='' type='text' value=' " . $this->array_cantidad[$i] . "'/></td>";
Por qué no defines nombre a tu "input"? .. por qué no lo llamas como te indiqué: cantidades[] .. ?
Por lo demás es normal que no se actualice nada .. Tu no has metido tu "input" en un formulario (<form ...>) ni se lo envias al script PHP que tenga que hacer el proceso de tomar esos datos, recorrer tu "carrito" y ver que Id_prod tienes que actualizar.
Un saludo,