Hola Luis,
En realidad deberías dirigir esta consulta a tu proveedor de hosting, pues son los más indicados para resolver tus dudas. Por ejemplo:
1. Cabe la posibilidad que no te permitan usar WGET, con lo cual de entrada no vale la pena que sigas intentando de esa forma.
2. Por otra parte, no mencionas cómo estás estableciendo el tiempo de ejecución. Deberías tener algo como:
*/10 * * * *
3. En tus ejemplos estás uniendo "html>". Deberías dejar un espacio entre el URL y ese operador.
4. Te recomiendo que uses la opción "-q" para evitar el
output de la página web que estás llamando.
En definitiva te podría recomendar que intentes de este modo:
*/10 * * * * wget -q
http://www.tudominio.com/test.html >/dev/null 2>&1
Saludos.