Como grabar en una base de datos una variable obtenida con prompt

[Valkam]

Tienes muchas posibilidades. En primer lugar debes almacenar el valor introducido por el usuario en alguna parte. Por ejemplo en una variable javascript o en el value de un input hidden. Si optas por esto último puedes enviar el formulario a la página php con el valor de ese campo. Eso te obligará a recargar tu página o al menos a llevar al usuario a otra página distinta.
Si no quieres hacerlo así, puedes optar por guardar el valor en una variable javascript y mediante AJAX enviarla al servidor para que la inserte en la base de datos. De esta forma no tendrás que recargar la página.