Distinguir usuarios mediante cookies

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Hola, estoy intentando conseguir que a mi web puedan estar conectados diferentes usuarios, de igual forma que ocurre en este y en otros foros. Lo que hago es crear una cookie una vez que se ha verificado que el usuario y la contraseña son válidos, de esta forma:

setcookie("usuario", $representante, time()+604800);

(Representante sería el identificador de usuario)

El problema es que si me identifico en un ordenador, y luego me conecto a la página desde otro, me aparece que ya estoy identificado. Lo que yo entiendo es que las cookies se crean en el disco duro de cada ordenador, por lo que si me identifico en uno, la cookie se crearía en este, luego si me voy a otro la cookie no existiría y debería indicarme que no estoy identificado. Les agradecería que me indicasen en qué me estoy equivocando, y cómo podría conseguir lo que deseo.