Al parecer esta bien, lo unico, las variables nombre, apellido y correo deberias recibirlas asi:
$nombre = $_POST["nombre"];
De todas formas, este no es el problema ya que directamente no te llega el correo, ni vacio ni con los datos. La prueba que podes hacer es acceder mediante el navegador directamente a este archivo php y ver si te llega un mail, aunque sea vacio. Si asi te llega, el problema esta en el flash y ahi es donde deberias buscar. Te dejo unos cambios a ese codigo:
Código PHP:
<?php
$MailTo="[email protected]";(aqui va mi direccion de correo)
$dia=date("m.d.Y");
$hora=date("H:i:s");
$nombre = $_POST["nombre"];
$apellido = $_POST["apellido"];
$correo = $_POST["correo"];
$empresa = $_POST["empresa"];
$mensaje = $_POST["mensaje"];
$contenido="
El Mensaje se Envio el $dia a las $hora:\n\n
----------------------------------------------------------------------------\n
Nombre: $nombre\n
Apellido: $apellido\n
E-mail: $correo\n
----------------------------------------------------------------------------\n
Empresa: $empresa\n
----------------------------------------------------------------------------\n
Mensaje: $mensaje\n
----------------------------------------------------------------------------\n
";
mail($MailTo, "$empresa (de $nombre $apellido)", $contenido, "From: $correo");
?>