Por una extraña razon (del foro) al quotearte, no me sale tu mensaje completo.
Cita: Warning: gzopen(./nombre_usuario.sql.gz) [function.gzopen]: failed to open stream: Permission denied in /home/hotname/public_html/spc/backup/mysql_db_backup.class.php on line 404
Puede ser posible, que te equibocaste en los datos de la base de datos, es decir en el nombre de la base de datos, ya que , trata de acceder a un fichero que no existe, puede ser por que el fichero nunca se creo ( debido a que el nombre de la base de datos no corresponde) o el directorio no tiene los permisos suficientes (666 o 777) aunque creo que no esto ultimo
Comprueba el name de tu bd (y q el user tenga acceso a dicha base de datos)
Saludos