Hola jasamestica...
Bueno tus dudas aun que parecen sencillas y faciles de responder engloban muchas tecnologias y aspectos... Tratare de resolver tus preguntas sin demasiada explicacion...
Cita: ¿el router es el que se conecta a internet?
R= NO precisamente, en tu caso NO !!!... para entender un poco esto debes considerar lo siguiente, en tu caso trabajas con 2 tipos de redes, una RED PUBLICA (Internet) y una RED PRIVADA (tu pc y la de tus vecinos), el router o ruteador es el que se encarga de conectar o crear una "ruta" entre tu red privada y tu red publica y al reves...
NOTA: Hay routers que hacen marcacion DSL, dial-up, etc... directa con lo cual no seria necesario un cable modem... pero en tu caso noes asi... Cita: ¿el router es el que obtiene la ip dinamica de internet?
R = Esa respuesta depende del tipo de configuración que hayan realizado en tu router (Dinamico, Clonando la MAC Address, IP Fija, etc)
Cita: ¿y a travez de quien la obtiene, ¿a travez de la tarjeta de red que instalo el proveedor de internet en mi pc o a travez del cable modem??
R = La obtiene en este caso del Cable Modem, la tarjeta de red que te instalo tu proveedor es solo el dispositivo que te permite conectarte a internet y conectarte con las demas PC's
Cita: ¿cual es la funcion de la tarjeta de red de mi pc(el que tenia internet originalmente antes de instalar el router?
R = La funcion de tu tarjeta de red como ya te dije es la que te proporciona capacidad de comunicacion de red "HACIA y DESDE" tu PC.
Cita: ¿por que es importante conocer la direccion mac de esta tarjeta de red al configurar el router en la direccion 192.168.0.1?
R = Esa respuesta depende del tipo de configuración que hayan realizado en tu router, probablemente era necesaria si es que hicieron una configuracion de NAT, DNAT, Port Forwarding, Seguridad por MAC Address, clonaron la MAC Address, etc....
Como te comento no puedo decirte mucho sobre esto ya que son temas bastante extensos, que no se podrian explicar en un solo post...
Te recomiendo que busques informacion al respecto en Google, baja manuales y lee muchos post de aqui para que no se te haga tan dificil...
SALUDOS