Fijate en la linea 21 de la imagen que me mandaste del Argosoft dice:
Por lo que veo allí hay una mala configuración, en algún lado, ya sea en tu script o en argosoft figura esa dirección y es la que esta causando problemas ya que el real email que esta enviando el mensaje es ese (
[email protected] ) y no el del tu dominio delegado a tu IP,
POr lo que veo en tu primer código, si bien estas usando la clase PHPMAILER, por medio de esa clase estas usando la función mail() de PHP.
Entonces si usas esa función no tiene sentido configurar el host ni el usuario ni la autenticación
y seguramente la dirección [email protected] la tienes configurada en el archivo php.ini que se encuentra dentro de la carpeta windows (en el caso que estés usando linux no es asi).
Para que PHP mailer envíe al Argosoft directamente el correo sin usar la función mail de PHP en tu código debes cambiar esta linea:
Código PHP:
$mail->Mailer = "mail";
por esta
Código PHP:
$mail->Mailer = "smtp";
Luego si pones todos los datos que te pide PHPMAILER como el usuario y la contraseña para la autenticación y en lugar de
[email protected] debe figurar el email que estás usando del dominio delegado a tu IP.
Es por eso que no están entrando al bandeja de entrada tus mensajes. Saludos y me tienes al tanto. 
PD: Muy bueno tu proyecto!! (me alegra que no sea spam)