Aper:
En tu caso hay tres cosas bien definidas y diferentes.
1.- La funcion mail de php no admite introducir nombres de usuarios y contraseña; en ese caso debes utilizar lo que te dice RoKo que si permite enviar correos con autenticacion.
2.- Casi todos los servidores de correo NO permiten "Relay" que significa que un tercero utilice los servicios de su servidor para enviar correos externos; a menos que ellos configuren su servidor para permitir que tu IP si pueda en cuyo caso NO requerira validacion y por ello podras utilizar la funcion mail para enviar correos externos.
Nota: Lo que te ha recomendado tu ISP no hace sentido y de hecho tu lo has demostrado ya que no funciona.
3.- Finalmente, o puedes instalar tu propio servidor de correo o puedes utilizar la funcion imap.dll de php, ingresar a tu correo con tu codigo de php y "compose" un correo, osea preparar un correo y eventualmente enviarlo desde tu script, atravez de tu cuenta de correo en tu ISP; en este ultimo caso debes saber el servidor de correo, nombre de usuario y contraseña.
ESTA ULTIMA OPCION ES UN TANTO COMPLICADA; no obstante, posible!.
Saludos
Franco
