Hola
joseluisbz.
Los mas extendidos son vBulletin (este que estás viendo), phpBB (seguro que alguna vez te has topado con el), y... Bastantes mas. Igual en hotscripts.com encuentras mas.
Hay en ASP, PHP, Perl, igual en RoR... Normalmente se apoyan de MySQL, aunque aquí también te puedes encontrar foros prefabricados para otro tipo de base de datos. De todas formas, en muchos casos, están preparados para trabajar con las bases de datos mas extendidas y usadas.
Los datos se almacenan en la base, mediante consultas desde el lenguaje de lado servidor (ya sea PHP, ASP o cual sea).
No sé si era esto lo que preguntabas exactamente, ya que has dejado la pregunta un poco abierta.
De todas formas, espero haberte ayudado.
Un saludo.