Problema con scroll y bordes de celdas de una tabla

[GabiAPF]

Hola.

Hace rato que vengo tratando de hacer una tabla con "overflow: auto" para que se pueda hacer scroll si se hace demasiado grande (algo tan simple como eso), pero no lo consigo.

La barra de scroll aparece pero, al moverla, el contenido de las celdas se mueve pero ¡los bordes se quedan quietos! En consecuencia, el texto pasa por encima de los bordes y parece quedar tachado o salirse de las celdas.

Lo único que hice fue ponerle un tamaño fijo a la tabla y al tbody y ponerles la propiedad overflow: auto en el CSS.

Probé esto en Firefox, no en IE, pero quisiera una solución que funcionara en ambos navegadores. Imagino que debe existir, porque lo que estoy tratando de hacer no es algo complicado. ¿Alguien me puede ayudar?

Desde ya, muchas gracias.