Ya lo he solucionado con un if, no se me había ocurrido antes hacerlo así pero funciona igual.
Código PHP:
if($nombre!=$nombre_antiguo){
$sql = "Select * from empresa where nombre_empresa = '$nombre'";
$res = mysql_query($sql,$conexion);
$row = @mysql_num_rows($res);
}else{
$row=0;
}
if($row!=0){
echo 'Ya existe una empresa con ese nombre, introduzca otra empresa';
}else{
//Hago el update