Prueba a darle la vuelta al código. Algo así:
Código PHP:
<?php
$valor = $_POST['nombre'];
setcookie("nombre",$valor,time()+6060*24*365,"/");
?>
<html>
<head>
<title>Problema</title>
</head>
<body>
<?php echo "cookie creada exitosamente"; ?>
</body>
</html>
Las cookies van en las cabeceras HTML, antes que cualquier contenido... De hecho, no se cómo te puede funcionar así
A mi, empleando $_POST me va de cine. $_REQUEST no recibe bién el parámetro.
¿Porqué las comillas para $valor? Se pueden poner, pero es más claro no ponerlas...