Hola, lo que debes hacer es escapar las comillas. Para eso debes usar una barra invertida (\) antes de las comillas:
Código PHP:
echo("<td><img src='images/user-trash-full.png' width='16' height='16' onclick='borra(\"".$datcon['nombre']."\");'></td>\n");
Checa este link:
http://es.wikibooks.org/wiki/Programaci%C3%B3n_en_PHP/Cadenas#Comillas_dobles
Un saludo,
