Hola,
 
prueba de sacarte por pantalla la sentencia SQL con un simple echo 
 Código PHP:
    $fecha = date("W");
$sql = "SELECT * FROM `noticias` WHERE WEEK(`fecha`) = $fecha";
echo $sql; 
    
  y luego para saber si tienes un error de SQL y poder detectarlo añade el mysql_error 
 Código PHP:
    $result = mysql_query($sql) or die("Error SQL: ".mysql_error()); 
    
  a ver si asi aislas el problema!!!  
Saludos